§91 数据的平稳性及其检验

时间:2010-12-5 17:23:32  作者:admin   来源:未知  查看:  评论:0
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9.1 数据的平稳性及其检验_经济学_高等教育_教育专区。第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 随机时间序列模型的识别和估计 第三节 协整分析与误差修正模型 9.1 时间序列的平稳性及其检验 问题的引出: 第九章
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  §9.1 数据的平稳性及其检验_经济学_高等教育_教育专区。第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 随机时间序列模型的识别和估计 第三节 协整分析与误差修正模型 §9.1 时间序列的平稳性及其检验 问题的引出:

  第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 第一节 时间序列的平稳性及其检验 第二节 随机时间序列模型的识别和估计 第三节 协整分析与误差修正模型 §9.1 时间序列的平稳性及其检验 问题的引出: 一、问题的引出:非平稳变量与经典回归 模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 单整、 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程 一、问题的引出:非平稳变量与经典 问题的引出: 回归模型 ⒈常见的数据类型 到目前为止,经典计量经济模型常用到的数据有: 到目前为止,经典计量经济模型常用到的数据有: 时间序列数据 时间序列数据(time-series data); 截面数据 截面数据(cross-sectional data) 平行 面板数据(panel data/time-series cross-section 平行/面板数据 面板数据 data) ★时间序列数据是最常见,也是最常用到的数据。 时间序列数据是最常见,也是最常用到的数据 时间序列数据是最常见 ⒉经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析暗含着一个重要假设:数据是平稳的。 经典回归分析暗含着一个重要假设 数据是平稳的。 暗含着一个重要假设: 数据非平稳,大样本下的统计推断基础——“一致 数据非平稳,大样本下的统计推断基础 一致 要求——被破怀。 被破怀。 性”要求 被破怀 经典回归分析的假设之一:解释变量X是非随机变 经典回归分析的假设之一:解释变量X是非随机变 量 放宽该假设:X是随机变量,则需进一步要求: 放宽该假设: 是随机变量 则需进一步要求: 是随机变量, (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0 与随机扰动项 不相关∶ (2) ∑ ( X i X ) 2 / n 依概率收敛: 依概率收敛: P lim (∑ ( X n →∞ i X ) 2 / n) = Q 第(1)条是OLS估计的需要 第(2)条是为了满足统计推断中大样本下的“一致 P lim 性”特性: ( β ) = β n →∞ 注意:在双变量模型中: 注意:在双变量模型中: 因此: = β + ∑ xi u i = β + ∑ xi u i / n β ∑ xi2 ∑ xi2 / n = β + P lim ∑ xi u i / n = β + 0 = β P lim β n →∞ Q P lim ∑ xi2 / n ▲如果 是非平稳数据(如表现出向上的趋势), 如果X是非平稳数据 如表现出向上的趋势), 如果 是非平稳数据( 则(2)不成立,回归估计量不满足“一致性”,基 )不成立,回归估计量不满足“一致性” 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。 数据非平稳,往往导致出现“虚假回归” ⒊ 数据非平稳,往往导致出现“虚假回归” 问题 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量, 表现在 两个本来没有任何因果关系的变量,却 两个本来没有任何因果关系的变量 有很高的相关性(有较高的R2): 有很高的相关性 例如: 例如:如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势(非平稳的),即使它们没有任何有意义的 关系,但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中: 在现实经济生活中 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的 实际的时间序列数据是非平稳的,而 实际的时间序列数据是非平稳的 且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为 一致的上升或下降。这样,仍然通过经典的因果关 仍然通过经典的因果关 系模型进行分析,一般不会得到有意义的结果。 系模型进行分析,一般不会得到有意义的结果。 时间序列分析模型方法 时间序列分析模型方法就是在这样的情况下, 模型方法 以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发 展起来的全新的计量经济学方法论。 展起来的全新的计量经济学方法论 时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内 时间序列分析 容,并广泛应用于经济分析与预测当中。 二、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题 首先遇到的问题是关于时间序列 首先遇到的问题 数据的平稳性 平稳性问题。 平稳性 假定某个时间序列是由某一随机过程 随机过程( 假定某个时间序列是由某一随机过程(stochastic process)生成的,即假定时间序列 t}(t=1, 2, …) )生成的,即假定时间序列{X ( ) 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到, 的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到,如果 满足下列条件: 满足下列条件: 1)均值E(Xt)=是与时间 无关的常数; )均值E(X )= 与时间t 无关的常数; 2)方差Var(Xt)=σ2是与时间t 无关的常数; )方差Var(X )=σ 与时间 无关的常数; 3)协方差Cov(Xt,Xt+k)=γk 是只与时期间隔 有关, )=γ 只与时期间隔k有关 有关, )协方差Cov(X 与时间t 无关的常数; 与时间 无关的常数; 则称该随机时间序列是平稳的 平稳的( 则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该 , 平稳随机过程( 随机过程是一平稳随机过程 随机过程是一平稳随机过程(stationary stochastic process)。 )。 例 9.1.1.一个最简单的随机时间序列是一具有零 均值同方差的独立分布序列: Xt=t , t~N(0,σ2) 该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。 白噪声( 白噪声 ) 由于Xt具有相同的均值与方差,且协方差为零,由 定义,一个白噪声序列是平稳的 一个白噪声序列是平稳的。 一个白噪声序列是平稳的 例 9.1.2.另一个简单的随机时间列序被称为随机 随机 游走( 游走(random walk),该序列由如下随机过程生成: ) Xt=Xt-1+t 这里, t是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的均值 均值:E(Xt)=E(Xt-1) 均值 为了检验该序列是否具有相同的方差,可假设Xt的 初值为X0,则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 … … Xt=X0+1+2+…+t + 由于X0为常数,t是一个白噪声,因此Var(Xt)=tσ2 的方差与时间t 有关而非常数, 即 Xt 的方差与时间 t 有关而非常数 , 它是一非平稳序 列。 然而,对X取一阶差分 一阶差分(first difference): 一阶差分 Xt=Xt-Xt-1=t 由于t是一个白噪声,则序列{Xt}是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的, 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的, 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 事实上, 随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 事实上,随机游走过程是下面我们称之为 是下面我们称之为1 AR(1 过程的特例 归AR(1)过程的特例 Xt=φXt-1+t 不难验证:1)φ1 不难验证 φ1时,该随机过程生成的时间序列是 发散的,表现为持续上升(φ 或持续下降(φ 发散的,表现为持续上升 φ1)或持续下降 φ-1), 因此是非平稳的; 因此是非平稳的; 2)φ=1时 是一个随机游走过程,也是非平稳的。 2)φ=1时,是一个随机游走过程,也是非平稳的。 第二节中将证明:只有当-1φ1时 第二节中将证明 只有当-1φ1时,该随机过程 只有当 才是平稳的。 才是平稳的。 1阶自回归过程 阶自回归过程AR(1)又是如下 阶自回归 又是如下k阶自回归 阶自回归过程 又是如下 阶自回归AR(K)过 过 的特例: 程的特例: Xt= φ1Xt-1+φ2Xt-2…+φkXt-k + 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。 三、平稳性检验的图示判断 给出一个随机时间序列,首先可通过该 序列的时间路径图 时间路径图来粗略地判断它是否 时间路径图 是平稳的。 一个平稳的时间序列 平稳的时间序列在图形上往往表现 平稳的时间序列 出一种围绕其均值不断波动的过程; 而非平稳序列 非平稳序列则往往表现出在不同的时 非平稳序列 间段具有不同的均值(如持续上升或持 续下降)。 Xt Xt t (a) (b) 图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图 t 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形 定义随机时间序列的自相关函数 ( autocorrelation 自相关函数( 自相关函数 function, ACF)如下: ) ρk=γk/γ0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。 自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。 (Why?) 实际上,对一个随机过程只有一个实现(样本), 实际上,对一个随机过程只有一个实现(样本), 样本自相关函数( 因此,只能计算样本自相关函数 因此,重点要做好三个字——“好、快、!只能计算样本自相关函数(Sample function)。 autocorrelation function)。 一个时间序列的样本自相关函数定义为: 一个时间序列的样本自相关函数定义为: rk = ∑ (X t =1 nk t n X )(X t + k X ) t ∑ (X t =1 X) 2 k = 1,2,3, L 易知, 随着k的增加 的增加, 易知 , 随着 的增加 , 样本自相关函数下降且趋 于零。 但从下降速度来看, 于零 。 但从下降速度来看 , 平稳序列要比非平稳 序列快得多。 序列快得多。 rk 1 rk 1 0 k 0 k (a) (b) 图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图 注意 注意: 确定样本自相关函数r 确定样本自相关函数rk某一数值是否足够接近 是非常有用的,因为它可检验对应的自相关 于0是非常有用的,因为它可检验对应的自相关 函数ρ 的线的假设。 函数ρk的线的假设。 Bartlett曾证明 如果时间序列由白噪声过程生成, 曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成 曾证明 如果时间序列由白噪声过程生成, 则对所有的k0,样本自相关系数近似地服从以 则对所有的 ,样本自相关系数近似地服从以0 为均值, 为方差的正态分布,其中n为样本数 为样本数。 为均值,1/n 为方差的正态分布,其中 为样本数。 也可检验对所有k0 自相关系数都为0 也可检验对所有 k0 , 自相关系数都为 0 的联合 k 假设,这可通过如下Q 统计量进行: 假设,这可通过如下QLB统计量进行: QLB rk2 = n(n + 2)∑ nk k =1 m 该统计量近似地服从自由度为m的χ2分 布(m为滞后长度)。 因此:如果计算的Q值大于显著性水平 如果计算的Q 如果计算的 的临界值,则有1 为α的临界值,则有1-α的把握拒绝所有 (k0)同时为 的假设。 同时为0 ρk(k0)同时为0的假设。 9.1.1序列Random1是通过 序列Random1 例9.1.3: 表9.1.1序列Random1是通过 一随机过程(随机函数)生成的有19 19个样 一随机过程(随机函数)生成的有19个样 本的随机时间序列。 本的随机时间序列。 表 9.1.1 序号 Random1 自相关系数 一个纯随机序列与随机游走序列的检验 Q LB Random2 自相关系数 Q LB rk (k=0,1,…17) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -0.031 K=0, 0.188 K=1, 0.108 K=2, -0.455 K=3, -0.426 K=4, 0.387 K=5, -0.156 K=6, 0.204 K=7, -0.340 K=8, 0.157 K=9, 0.228 K=10, -0.315 K=11, -0.377 K=12, -0.056 K=13, 0.478 K=14, 0.244 K=15, -0.215 K=16, 0.141 K=17, 0.236 1.000 -0.051 -0.393 -0.147 0.280 0.187 -0.363 -0.148 0.315 0.194 -0.139 -0.297 0.034 0.165 -0.105 -0.094 0.039 0.027 0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381 -0.031 0.157 0.264 -0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236 0.000 rk (k=0,1,…17) 1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093 5.116 5.123 5.241 5.261 5.269 6.745 6.876 7.454 7.477 10.229 18.389 22.994 23.514 23.866 24.004 25.483 27.198 容易验证:该样本序列的均值为0,方差为0.0789。 该样本序列的均值为0 方差为0.0789。 该样本序列的均值为 0.0789 从图形看:它在其样本均值0附近上下波动,且样本自相关 它在其样本均值0附近上下波动, 它在其样本均值 系数迅速下降到0 随后在0附近波动且逐渐收敛于0 系数迅速下降到0,随后在0附近波动且逐渐收敛于0。 0.6 0.4 0.2 0.4 0.0 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -0.4 1.2 0.8 -0.8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM1 RANDOM1AC (a) (b) 由于该序列由一随机过程生成,可以认为不存 在序列相关性,因此该序列为一白噪声。 该序列为一白噪声。 该序列为一白噪声 根据Bartlett的理论:ρk~N(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是 [ Z 0.025 σ , Z 0.025 σ ] = [1.96 × 1 / 19 ,1.96 × 1 / 19 ] = [0.4497,0.4497] 可以看出:k0时,rk的值确实落在了该区间内, 的值确实落在了该区间内, 可以看出:k0时 因此可以接受ρ k0)为 的假设。 因此可以接受ρk(k0)为0的假设 同样地,从QLB统计量的计算值看,滞后17期 从 统计量的计算值看,滞后17期 17 的计算值为26.38 未超过5% 26.38, 5%显著性水平的临界值 的计算值为26.38,未超过5%显著性水平的临界值 27.58,因此,可以接受所有的自相关系数ρ 27.58,因此,可以接受所有的自相关系数ρk(k0) 都为0的假设。 都为0的假设。 因此,该随机过程是一个平稳过程。 该随机过程是一个平稳过程。 该随机过程是一个平稳过程 序列Random2是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。 其中,第0项取值为0, t是由Random1表示的白噪声。 0.4 0.2 1.2 0.8 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -0.8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 RANDOM2 RANDOM2AC (a) (b) 图形表示出: 图形表示出:该序列具有相同的均值, 但从样本自相关图看,虽然自相关系数迅速 下降到0,但随着时间的推移,则在0附近波 动且呈发散趋势。 样本自相关系数显示:r1=0.48,落在 样本自相关系数显示 了区间[-0.4497, 0.4497]之外,因此在5% 的显著性水平上拒绝ρ1的线的假设。 该随机游走序列是非平稳的。 该随机游走序列是非平稳的。 9.1.4 例 9.1.4 检验中国支出法 GDP 时间序列的平稳性。 GDP(单位:亿元) 表 9.1.2 1978~2000 年中国支出法 GDP (单位:亿元) GDP GDP 年份 年份 3605.6 1986 10132.8 1994 4073.9 1987 11784 1995 4551.3 1988 14704 1996 4901.4 1989 16466 1997 5489.2 1990 18319.5 1998 6076.3 1991 21280.4 1999 7164.4 1992 25863.6 2000 8792.1 1993 34500.6 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 GDP 46690.7 58510.5 68330.4 74894.2 79003.3 82673.1 89112.5 100000 1.2 1.0 80000 0.8 0.6 0.4 60000 40000 0.2 0.0 -0.2 20000 0 78 -0.4 80 82 84 86 88 90 GDP 92 94 96 98 00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 GDPACF 9.1.5 1978~2000 图 9.1.5 1978 2000 年中国 GDP 时间序列及其样本自相关图 图形:表现出了一个持续上升的过程,可 图形:表现出了一个持续上升的过程, 初步判断是非平稳 是非平稳的 初步判断是非平稳的。 样本自相关系数:缓慢下降,再次表明它 样本自相关系数:缓慢下降, 非平稳性 的非平稳性。 从滞后 期的 LB统计量看: 从滞后18期的 从滞后 期的Q 统计量看: QLB(18)=57.1828.86=χ20.05 拒绝: 拒绝:该时间序列的自相关系数在滞后1 期之后的值全部为0的假设。 结论: 结论 1978~2000年间中国GDP时间序列是非平稳 序列。 例9.1.5 检验§2.10中关于人均居民消费与 人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。 原图 6000 5000 4000 3000 2000 1000 样本自相关图 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 0 82 84 86 88 GDPPC 90 92 CPC 94 96 -0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 CPC GDPPC 图 9.1.6 1981~1996 中国居民人均消费与人均 GDP 时间序列及其样本自相关图 从图形上看:人均居民消费(CPC)与人均国 从图形上看: 内生产总值(GDPPC)是非平稳的 是非平稳的。 是非平稳的 从滞后14期的 LB统计量看: 从滞后14期的Q 统计量看: 14期的 CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18, 超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再次 表明它们的非平稳性。 表明它们的非平稳性。 就此来说, 就此来说,运用传统的回归方法建立它们的 回归方程是无实际意义的。 回归方程是无实际意义的。 不过,第三节中将看到, 不过,第三节中将看到,如果两个非平稳时 协整的 间序列是协整 间序列是协整的,则传统的回归结果却是有意义 而这两时间序列恰是协整 协整的 的,而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外, 运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。 单位根检验( 单位根检验(unit root test)是统计检验中普遍 ) 应用的一种检验方法。 DF检验 1、DF检验 我们已知道,随机游走序列 Xt=Xt-1+t 是非平稳的,其中t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型 Xt=ρXt-1+t 中参数ρ=1时的情形。 也就是说,我们对式 Xt=ρXt-1+t (*) 做回归,如果确实发现ρ=1,就说随机变量Xt有 一个单位根。 单位根。 单位根 (*)式可变形式成差分形式: Xt=(1-ρ)Xt-1+ t =δXt-1+ t (**) 检验(*)式是否存在单位根ρ=1,也可通过 (**)式判断是否有δ =0。 一般地: 一般地: 检验一个时间序列Xt的平稳性,可通过检验 检验一个时间序列Xt的平稳性, Xt的平稳性 带有截距项的一阶自回归模型 Xt=α+ρXt-1+t (*) 中的参数ρ是否小于1 中的参数ρ是否小于1。 或者: 或者:检验其等价变形式 Xt=α+δXt-1+t **) (**) 中的参数δ是否小于0 中的参数δ是否小于0 。 在第二节中将证明,(*)式中的参数ρ1或ρ=1时, 时间序列是非平稳的; 时间序列是非平稳的; 对应于(**)式,则是δ0或δ =0。 因此,针对式 Xt=α+δXt-1+t 我们关心的检验为:零假设 H0:δ=0。 零假设 : 备择假设 H1:δ0 : 上述检验可通过OLS法下的 检验完成。 法下的t检验完成 上述检验可通过 法下的 检验完成。 然而,在零假设(序列非平稳)下,即使在大样 t t 本下t统计量也是有偏误的(向下偏倚),通常的t 检验无法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量 服从的分布(这时的t统计量称为τ统计量 τ统计量),即DF 分布(见表9.1.3)。 分布 由于t统计量的向下偏倚性,它呈现围绕小于零值 的偏态分布。 表 9.1.3 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 -3.75 -3.00 -2.63 50 -3.58 -2.93 -2.60 DF 分布临界值表 100 500 -3.44 -2.87 -2.57 ∝ -3.43 -2.86 -2.57 t分布临界值 (n=∝) -2.33 -1.65 -1.28 样 本 容 量 -3.51 -2.89 -2.58 因此,可通过OLS法估计 Xt=α+δXt-1+t 并计算t统计量的值,与DF分布表中给定显著性水平 下的临界值比较: 如果: 临界值 则拒绝零假设H 临界值, 如果:t临界值,则拒绝零假设 0:δ =0, , 认为时间序列不存在单位根,是平稳的。 认为时间序列不存在单位根,是平稳的。 注意:在不同的教科书上有不同的描述,但是 注意:在不同的教科书上有不同的描述, 结果是相同的。 结果是相同的。 例如: 如果计算得到的 统计量的绝对值大于 例如:“如果计算得到的t统计量的绝对值大于 临界值的绝对值,则拒绝ρ=0”的假设,原序列 的假设, 临界值的绝对值,则拒绝 的假设 不存在单位根,为平稳序列。 不存在单位根,为平稳序列。 2、ADF检验 ADF检验 进一步的问题: 进一步的问题:在上述使用 Xt=α+δXt-1+t 对时间序列进行平稳性检验中,实际上假定了时间序列是由 实际上假定了时间序列是由 实际上 具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。 生成的。 具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程 生成的 但在实际检验中, 但在实际检验中 , 时间序列可能由更高阶的自回归过程 生成的,或者随机误差项并非是白噪声,这样用OLS法进行 生成的,或者随机误差项并非是白噪声 法进行 估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation), 估计均会表现出随机误差项出现自相关 导致DF检验无效。 另外,如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋 另外 势(如上升或下降),则也容易导致上述检验中的自相关随 自相关随 机误差项问题。 机误差项问题 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性,Dicky和 Fuller对DF检验进行了扩充,形成了ADF(Augment Dickey( Fuller )检验 检验。 ADF检验是通过下面三个模型完成的: 检验是通过下面三个模型完成的: 检验是通过下面三个模型完成的 模型 1: X t = δX t 1 + ∑ β i X t i + ε t i =1 m (*) 模型 2: X t = α + δX t 1 + ∑ β i X t i + ε t i =1 m (**) 模型 3: X t = α + β t + δ X t 1 + ∑ β i X t i + ε t 1 i =1 m (***) 模型 中的 是时间变量 模型3 中的t是时间变量 是时间变量,代表了时间序列随时 间变化的某种趋势(如果有的话)。 检验的假设都是:针对 检验的假设都是:针对H1: δ0,检验 H0:δ=0, 检验 : , 即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于 即存在一单位根 是否包含有常数项和趋势项。 实际检验时从模型3开始,然后模型2、模型1。春季再出土展藤,老彩民高手论坛946您, 何时检验拒绝零假设,即原序列不存在单位根, 为平稳序列,何时检验停止。否则,就要继续检 验,直到检验完模型1为止。 检验原理与DF检验相同,只是对模型1、2、3 检验原理 进行检验时,有各自相应的临界值。 表9.1.4给出了三个模型所使用的ADF分布临界 值表。 表 9.1.4 模型 统计量 不同模型使用的 ADF 分布临界值表 样本容量 25 50 100 250 500 500 25 50 100 250 500 500 25 50 100 250 500 500 25 50 100 250 500 500 25 50 100 250 500 500 25 50 100 250 500 500 0.01 -2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58 -3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43 3.41 3.28 3.22 3.19 3.18 3.18 -4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96 4.05 3.87 3.78 3.74 3.72 3.71 3.74 3.60 3.53 3.49 3.48 3.46 0.025 -2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23 -3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12 2.97 2.89 2.86 2.84 2.83 2.83 -3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66 3.59 3.47 3.42 3.39 3.38 3.38 3.25 3.18 3.14 3.12 3.11 3.11 0.05 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86 2.61 2.56 2.54 2.53 2.52 2.52 -3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41 3.20 3.14 3.11 3.09 3.08 3.08 2.85 2.81 2.79 2.79 2.78 2.78 0.10 -1.60 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57 2.20 2.18 2.17 2.16 2.16 2.16 -3.24 -3.18 -3.15 -3.13 -3.13 -3.12 2.77 2.75 2.73 2.73 2.72 2.72 2.39 2.38 2.38 2.38 2.38 2.38 τδ 1 τδ 2 τα τδ τα 3 τβ 一个简单的检验过程: 一个简单的检验过程: 同时估计出上述三个模型的适当形式,然后通过 ADF临界值表检验零假设H0:δ=0。 1)只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设, )只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设, 就可以认为时间序列是平稳的; 就可以认为时间序列是平稳的; 2)当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时,则 )当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时, 认为时间序列是非平稳的。 认为时间序列是非平稳的。 这里所谓模型适当的形式 模型适当的形式就是在每个模型中选取适 模型适当的形式 当的滞后差分项,以使模型的残差项是一个白噪声 (主要保证不存在自相关)。 例9.1.6 检验1978~2000年间中国支出法GDP时间序列的平稳 性。 1)经过偿试,模型3取了2阶滞后: GDPt = 1011.33 + 229.27T + 0.0093GDPt 1 + 1.50GDPt 1 1.01GDPt 2 (-1.26) (1.91) (0.31) (8.94) (-4.95) 通过拉格朗日乘数检验 拉格朗日乘数检验(Lagrange multiplier test)对随机误 拉格朗日乘数检验 差项的自相关性进行检验: LM(1)=0.92, LM(2)=4.16, 小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的χ2分布的临界值, 可见不存在自相关性,因此该模型的设定是正确的。 临界值, 从δ的系数看,t临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 的系数看, 临界值 不能拒绝存在单位根的零假设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值,因此不能拒绝 不能拒绝 不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型 需进一步检验模型2 不存在趋势项的零假设 需进一步检验模型 。 2)经试验,模型2中滞后项取2阶: GDPt = 357.45 + 0.057GDPt 1 + 1.65GDPt 1 1.15GDPt 2 (-0.90) (3.38) LM(1)=0.57 (10.40) LM(2)=2.85 (-5.63) LM检验表明模型残差不存在自相关性,因此该模型 的设定是正确的。 从GDPt-1 的参数值看,其t统计量为正值,大于临界值, 不能拒绝存在单位根的零假设。 不能拒绝存在单位根的零假设 常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值,不能拒 不能拒 绝不存常数项的零假设。 绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。 3)经试验,模型1中滞后项取2阶: GDPt = 0.063GDPt 1 + 1.701GDPt 1 1.194GDPt 2 (4.15) LM(1)=0.17 (11.46) (-6.05) LM(2)=2.67 LM检验表明模型残差项不存在自相关性,因 此模型的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看,其t统计量为正值,大于 不能拒绝存在单位根的零假设。 临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 不能拒绝存在单位根的零假设 可断定中国支出法 可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的 。 时间序列是非平稳的。 时间序列是非平稳的 例9.1.7 检验§2.10中关于人均居民消费与人均 国内生产总值这两时间序列的平稳性。 中国人均国内生产总值GDPPC来说,经过偿试,三 1)对中国人均国内生产总值 中国人均国内生产总值 个模型的适当形式分别为 模型 3: GDPPCt = 75.08 + 45.36t 0.15GDPPCt 1 + 1.03GDPPCt 1 (-0.75) (1.93) LM(1)=2.88 模型 2: (-1.04) LM(2)=1.86 (2.31) GDPPCt = 192.02 + 0.652GDPPCt 1 + 0.040GDPPCt 1 1.425GDPPC t 2 (-1.78) (3.26) (0.08) (-2.96) 0.412GDPPC t 3 1.403GDPPC t 4 (-0.67) (-2.20) LM(1)=1.67 LM(2)=1.71 LM(3)=6.28 LM(4)=10.92 模型 1: GDPPCt = 0.196GDPPCt 1 + 0.875GDPPCt 1 0.975GDPPCt 2 (2.63) LM(1)=0.20 (2.61) LM(2)=3.53 (-2.72) 三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自 的临界值,因此不能拒绝存在单位根的零假设 不能拒绝存在单位根的零假设。 不能拒绝存在单位根的零假设 结论:人均国内生产总值(GDPPC)是非平稳 人均国内生产总值( 人均国内生产总值 ) 的。 2)对于人均居民消费CPC时间序列来说,三个 模型的适当形式为 模型 3: CPC t = 26.23 + 34.98t 0.3646CPC t 1 + 1.4627CPC t 1 (-0.477) (2.175) (-1.478) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2: (2.318) CPC t = 79.88 + 0.545CPC t 1 + 0.508CPC t 1 1.655CPC t 2 0.027 CPC t 3 (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.44) (-0.05) 1.824CPC t 4 (-3.03) LM(1)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 模型 1: CPC t = 0.37CPC t 1 + 0.88CPC t 1 1.48CPC t 2 + 0.08CPC t 3 1.71CPC t 4 (3.60) LM(1)=1.83 (2.37) LM(2)= 1.84 (-2.97) LM(3)=2.00 (0.12) (-2.68) LM(4)=2.33 三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比ADF 临界值表中各自的临界值大,不能拒绝该时间 不能拒绝该时间 序列存在单位根的假设, 序列存在单位根的假设 可判断人均居民消费序列CPC是非平稳 是非平稳 因此,可判断人均居民消费序列 可判断人均居民消费序列 的。 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机 单整、 过程 ⒈单整 随机游走序列 Xt=Xt-1+t 经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声,因此差分后的序列 Xt} 差分后的序列{ 差分后的序列 是平稳的。 是平稳的。 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的, 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的,就称原 序列是一阶单整 一阶单整( 序列是一阶单整(integrated of 1)序列,记为 )序列,记为I(1)。 。 一般地,如果一个时间序列经过 次差分后变成平稳序列 次差分后变成平稳序列, 一般地,如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列, 则称原序列是d 阶单整( 则称原序列是 阶单整(integrated of d)序列,记为 )序列,记为I(d)。 。 显然,I(0)代表一平稳时间序列。 代表一平稳时间序列。 代表一平稳时间序列 现实经济生活中: 现实经济生活中 1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的,如利率等 只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的, 只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的 如利率等; 2)大多数指标的时间序列是非平稳的,如一些价格指数常常 大多数指标的时间序列是非平稳的, 大多数指标的时间序列是非平稳的 阶单整的, 是2阶单整的,以不变价格表示的消费额、收入等常表现为 阶单整的 以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1 阶单整。 阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式 变为平稳的。 变为平稳的。 但也有一些时间序列,无论经过多少次差分, 但也有一些时间序列,无论经过多少次差分,都不能变为平 稳的。这种序列被称为非单整的 非单整的( 稳的。这种序列被称为非单整的(non-integrated)。 ) 例9.1.8 中国支出法GDP的单整性。 经过试算,发现中国支出法 中国支出法GDP是1阶单整的 阶单整的, 中国支出法 是 阶单整的 适当的检验模型为 2 GDPt = 1174.08 + 261.25t 0.495GDPt 1 + 0.9662 GDPt 1 (-1.99) (4.23) (-5.18) (6.42) LM(2)=1.29 R 2 =0.7501 LM(1)=0.40 例9.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的 单整性。 中国人均国内生产总值GDPPC是 2阶单 经过试算,发现中国人均国内生产总值 中国人均国内生产总值 是 阶单 整的,适当的检验模型为 整的 3GDPPCt = 0.602 GDPPCt 1 (-2.17) R 2 =0.2778, LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同样地,CPC也是 阶单整的 也是2阶单整的 也是 阶单整的,适当的检验模型为 3 CPC t = 0.672 CPC t 1 (-2.08) R 2 =0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)= 2.36 ⒉ 趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出,一些非平稳的经济时间序列往往表 现出共同的变化趋势,而这些序列间本身不一定有 直接的关联关系,这时对这些数据进行回归,尽管 有较高的R2,但其结果是没有任何实际意义的。这 种现 象 我们 称 之为 虚 假 回 归 或 伪 回 归 ( spurious regression)。 ) 如:用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP 时间序列作回归,会得到较高的R2 ,但不能认为两 者有直接的关联关系,而只不过它们有共同的趋势 罢了,这种回归结果我们认为是虚假的。 为了避免这种虚假回归的产生,通常的做法是引 入作为趋势变量的时间,这样包含有时间趋势变 量的回归,可以消除这种趋势性的影响。 然而这种做法,只有当趋势性变量是确定性的 确定性的 随机性的( ( deterministic) 而非随机性的 ( stochastic) , ) 随机性的 ) 才会是有效的。 换言之,如果一个包含有某种确定性趋势的非 如果一个包含有某种确定性趋势的非 平稳时间序列, 平稳时间序列 , 可以通过引入表示这一确定性趋 势的趋势变量,而将确定性趋势分离出来。 势的趋势变量,而将确定性趋势分离出来。 考虑如下的含有一阶自回归的随机过程: Xt=α+βt+ρXt-1+t (*) 其中:t是一白噪声,t为一时间趋势。 1)如果ρ=1,β=0,则(*)式成为一带位移的随机 一带位移的随机 游走过程: 游走过程 (**) Xt=α+Xt-1+t 根据α的正负,Xt 表现出明显的上升或下降趋势。 这种趋势称为随机性趋势(stochastic trend)。 随机性趋势( 随机性趋势 ) 2)如果ρ=0,β≠0,则(*)式成为一带时间趋势的 随机变化过程: Xt=α+βt+t (***) 根据β的正负,Xt 表现出明显的上升或下降趋势。 这种趋势称为确定性趋势(deterministic trend)。 确定性趋势( 确定性趋势 ) 3) 如果ρ=1,β≠0,则Xt包含有确定性与随机性 确定性与随机性 两种趋势。 两种趋势。 判断一个非平稳的时间序列,它的趋势是随机性 的还是确定性的,可通过ADF检验中所用的第3个 模型进行。 该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t, 即分离出了确定性趋势的影响。 因此,(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位 如果检验结果表明所给时间序列有单位 且时间变量前的参数显著为零, 根 , 且时间变量前的参数显著为零 , 则该序列显 示出随机性趋势; 示出随机性趋势 (2)如果没有单位根 , 且时间变量前的参数 如果没有单位根, 如果没有单位根 显著地异于零,则该序列显示出确定性趋势。 显著地异于零,则该序列显示出确定性趋势。 随机性趋势可通过差分的方法消除 如:对式 Xt=α+Xt-1+t 可通过差分变换为 Xt= α+t 该时间序列称为差分平稳过程(difference stationary 差分平稳过程( 差分平稳过程 process); ) 确定性趋势无法通过差分的方法消除,而只能 确定性趋势无法通过差分的方法消除, 通过除去趋势项消除, 通过除去趋势项消除, 如:对式 Xt=α+βt+t 可通过除去βt变换为 Xt - βt =α+t 该时间序列是平稳的,因此称为趋势平稳过程 趋势平稳过程 (trend stationary process)。 )。 最后需要说明的是, 最后需要说明的是,趋势平稳过程代表了一 个时间序列长期稳定的变化过程, 个时间序列长期稳定的变化过程,因而用于进行 长期预测则是更为可靠的。 长期预测则是更为可靠的。

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